glosario de simbolos:

ÁNGULO ..................................... ∢
ANGULO RECTO ............................ ∡
APROXIMADAMENTE IGUAL .......... ≐, ≈
ARCO DE A a B ............................... A⁀B
CARDINAL EL CONJUNTO X, Y...... |{ X, Y}|
CÍRCULO ....................................... ⊙
CONGRUENTE CON .......................... ≌
CONJUNTO A ................................. A
CONJUNTO TOMADO POR LOS
ELEMENTOS: a, b y c.......................... A = {a, b, c}
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
ENTEROS ....................................... Z
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
NATURALES ................................... N
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
RACIONALES ................................ Q

CONJUNCIÓN ........................................… L
CONJUNTO VACÍO ........................ { }, Ø
DEFINIDO IGUAL ........................... : =
DISTINTO, NO IGUAL .................... ≠
DIVIDIDO ENTRE .......................... :
ES ELEMENTO DE ........................ є
ES SUBCONJUNTO DE ................. ⊂
EQUIVALENCIA .......................... ↔
FUNCIÓN f ........................................… f
IDENTIFICACIÓN IGUAL ................... ≡
IGUAL ........................................… =
IMPLICACIÓN ...................................... ⇒
INFINITO ........................................… ∞
INTERSECTADO ......................... ∩
MÁS ........................................… +
MÁS O MENOS ................................... ±
MAYOR QUE ....................................... >
MAYOR IGUAL QUE .......................... ≥
MEDIDA DE SEGMENTO AB ........ | AB |
MENOR QUE ........................................ <
MENOR IGUAL QUE ........................... ≤
MENOS ........................................… -
MUY GRANDE RESPECTO A .......... >>
MUY PEQUEÑO RESPECTO A ....... <<
NO ........................................… ┒
NO ES ELEMENTO DE ..................... ∉
NO ES SUBCONJUNTO DE ............ ⊄
NO ES CIERTA LA PROPOSICIÓN .. ∼p
O (LA DISYUNCIÓN) ............................ V
PAR ORDENADO a, b ........................... (a, b)
PARALELA ........................................… ∥
PI....................................…
POR ........................................… Ï
POR CIENTO ...................................... %
POR TANTO, POR CONSIGUIENTE .. \
PRODUCTO CARTESIANO DE LOS
ELEMENTOS M, N ................................... MÏN
RAYA DE FRACCIÓN ............................ / , ¾
RECTA r ........................................… r
RECTA QUE PASA POR LOS
PUNTO A, B ........................................… AB
SE CORRESPONDE CON .................... ≙
SEGMENTO ENTRE LOS PUNTOS A, B .. AB
TAL QUE ........................................… /
TRIANGULO ........................................ ∆
UNIDO CON ........................................… ∪

1.- Precalculo

1.1 Sistema de coordenadas lineales y rectangulares

Coordenadas lineales 

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección positiva de las x: I.

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

 

 coordenadas rectangulares

Se llama sistema de coordenadas rectangulares al formado por dos rectas perpendiculares entre si que se cortan en el punto O, llamado origen del sistema. A la recta horizontal se le llama eje X o de las abscisas y a la recta vertical eje Y o de las ordenadas.

Determinan cuatro regiones, denominadas cuadrantes, numerados siguiendo un sentido contrario a las agujas del reloj. La dirección positiva del eje X es hacia la derecha y la del eje Y es hacia arriba.

Para cualquier punto P en el plano determinado por estas rectas existen dos números reales llamados coordenadas de P. La coordenada x sobre el eje X viene dada por la longitud del segmento OA, mientras la coordenada y sobre el eje Y viene dada por la longitud del segmento OB. Véase la figura. Esto se representa por P(x, y). 

ejemplo de coordenadas en el plano cartesiano :

(-4,2), (-5,-6), (3, 2).

ejercicios:

localiza los siguientes puntos en la recta real:

13/5, 12/3, 36/7, -13/5, -12/3, -36/7, 0/11.

localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano:

(-6.3, 5), (5.3, 2), ( -7,2.5).

1.2 desigualdades

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

  .

Ejemplos:

  

 

 

ejercicios: 

1) 4 + 9x > –2 + 7x
2) 5 – 3x < 13 + 3x

 

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

·         Si a > b y b > c entonces a > c.

·         Si a < b y b < c entonces a < c.

·         Si a > b y b = c entonces a > c.

·         Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

·         Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.

·         Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

·         Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.

·         Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

·         Si a < b entonces −a > −b.

·         Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

·         Si a < b entonces 1/a > 1/b.

·         Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

·         Si a < b entonces 1/a < 1/b.

·         Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

ejemplos:

 

  

ejercicios:

Expresa en lenguaje matemático los siguientes intervalos:
 
 
  

Representa gráficamente y expresa simbólicamente las siguientes expresiones: